【北美发布记者檀林报道】你有没有想过，一块冰在水中融化的边界——冰和水的交界线——其实是一个连数学家都头疼的问题？这个看似简单的自然现象，在数学中被称为“自由边界问题”，是个既优美又复杂的前沿难题。
来自北卡罗来纳大学教堂山分校（UNC Chapel Hill）的数学系校友赵东翰（Alvis Zahl），近日在这一领域取得了引人注目的突破。
他在最新研究中，不仅探索了这一“冰水边界”在极其复杂环境下的行为，还首次建立了一整套描述其几何结构与光滑性的理论框架。这项工作不仅挑战了传统观念，还为自由边界的理解打开了一扇全新的窗。
2021年毕业于北卡大学教堂山分校（UNC Chapel Hill）数学系的赵东翰，目前正在罗格斯大学（Rutgers University）攻读数学博士学位，师从 Dennis Kriventsov，研究方向为偏微分方程（PDEs）与变分问题。他近日在预印本平台 arXiv 上发表了论文《Minimizing Eigenvalues of the Fractional Laplacian》，系统探讨了一类被称为“非局部自由边界问题”的特征值最小化结构，并已经提交到了国际数学期刊正在等待审稿。
这项研究围绕一个数学界公认的难点展开——如何在非局部条件下理解“自由边界”的形状与规律。所谓“非局部”，指的是一个点的行为不仅受其周围邻域的影响，还可能受到远处点的干扰。例如某些材料中，热量并非缓慢扩散，而是会“跳跃式”传播，这类现象在自然界和工程问题中屡见不鲜。赵的研究，正是从数学分析角度，构建了一套描述这种非局部现象中自由边界行为的完整理论框架。
什么是“自由边界”？
要理解赵的研究，我们不妨从一个生活场景切入：想象你把一块冰放入水中，随着时间推移，它逐渐融化成水。冰和水之间的那条交界线，并不是提前已知的，而是随着环境变化动态生成的。这条“我们事先不知道在哪里”的边界，在数学中被称为“自由边界”。
自由边界问题广泛出现在各类自然和社会现象中，例如金属冷却过程中的固液交界、地下水渗流边界、肿瘤扩张模型，甚至包括金融领域的期权定价模型。数学家研究的，是如何既求出内部状态（比如温度或压力分布），又同时决定边界的位置和形状。
而赵所研究的，是这种自由边界问题在“非局部”框架下的全新版本。他分析的模型中，边界的行为不仅取决于临近区域，还受到整个区域远处的影响。这类模型通常更加复杂，也更贴近现实世界中的高阶物理过程，比如包含 Lévy 跳跃（Levy flights）的扩散现象。
研究亮点与突破
赵的论文在多个方面取得了首创性成果：
- 存在性与正则性：他首先证明了该问题在给定体积下确实存在特征值最小化解。这为后续研究奠定了可行性基础。
- 边界结构的几何刻画：论文建立了最优区域正负部分之间的“分离性”结构，并给出了边界附近的密度估计。这些结果揭示了边界在几何上是如何被控制的。
- 自由边界的光滑性分析：当边界局部看起来“扁平”时，他进一步证明了其光滑性，即边界可以在一定条件下被平滑地描绘出来。
- Hölder 正则性：最优解的特征函数被证明具有最佳的 Hölder 连续性，这在偏微分方程分析中是一个重要的“平滑度”指标。
推动猜想进展的新视角
更值得关注的是，赵的分析还为一个长期未解的数学猜想提供了新角度。在局部模型中，关于特征值 λ_k（k ≥ 2）是否总是“简单”的问题尚未解决，即是否具有唯一的特征函数。赵在非局部框架下的研究发现，λ_k 很可能不是简单的。
他进一步将这一复杂的分析问题，简化为一个离散组合优化模型，并猜测最优区域可能呈现多个对称区域的并集。这一结构在数学极限中的出现，为分析局部问题中的复杂行为提供了全新启发。
数学之路始于UNC
赵东翰在 UNC 本科期间便展现出对数学的浓厚兴趣。他主修数学荣誉项目，积极参与讲座与研讨活动，并在数学系教授 Mark Williams 的指导下完成了极具深度的本科毕业论文。
凭借其在本科阶段的出色表现，他荣获 UNC 数学系设立于1931年的最高荣誉——阿奇博尔德·亨德森数学奖章（The Archibald Henderson Mathematics Medal），该奖专门颁发给在数学研究方面最具原创性的本科生。
在 UNC 奠定的基础上，他选择继续深入自由边界与非局部算子的理论研究，并在博士阶段拓展到更具挑战性的分数阶问题。
“数学是一种深刻的语言”
回顾自己的学术旅程，赵东翰始终记得，在 UNC 教堂山橡树环绕的校园里，第一次在分析课上被数学之美深深吸引的情景。他希望未来能在博士毕业后申请顶尖高校的博士后职位，继续推进这类自由边界问题的结构性理解。
“我希望更多人意识到，数学不只是工具，而是一种深刻描述世界结构的语言。”他说。
